Tests divers

$latex % Tout ce qui est compris entre le caractËre % et une fin de ligne est un % commentaire ignorÈ par LaTeX % Un fichier LaTeX commence par une commande \documentclass qui dÈclare le type % de document \documentclass{article} % Ici, et jusqu'au \begin{document} ci-dessous, c'est le prÈambule : on y met % les dÈclarations de style, les dÈfinitions de macros, etc. %%%% Personnalisation du style dÈfaut % Fichiers de style utilisÈs ; les dÈclarations se font au moyen de la commande % \usepackage \usepackage{fullpage} % Agrandit les dimensions du texte (hauteur, largeur, % etc.) par rapport ‡ celles par dÈfaut. Attention % ce package ne se trouve pas dans toutes les % distributions LaTeX \usepackage[french]{babel} % Pour adopter les rËgles de typographie franÁaise \usepackage[T1]{fontenc} % Pour que LaTeX comprenne les caractËres accentuÈs ; % norme iso-8859, cela risque de ne pas marcher avec % des fichiers crÈÈs sous windows \usepackage{amsmath} % Les bibliothËques LaTeX de l'American % Mathematical Society sont pleines de macros % intÈressantes (voire indispensables). %%%% DÈclaration d'environnements % Les dÈfinitions, thÈorËmes et autres lemmes, corollaires, propositions, % exemples, se dÈclarent au moyen de \newtheorem \newtheorem{de}{DÈfinition}[subsection] % les dÈfinitions et les thÈorËmes sont \newtheorem{theo}{ThÈorËme}[section] % numÈrotÈs par section \newtheorem{prop}[theo]{Proposition} % Les propositions ont le mÍme compteur % que les thÈorËmes %%%% Notations % Ici l'on dÈfinit les notations que l'on utilisera, au moyen de la macro % \newcommand \newcommand{\ordmult}{\mathop{.}} % \ordmult est l'opÈrateur de multiplication % d'ordinaux % Voici une notation qui prend des paramËtres \newcommand{\expo}[2]{#1^{#2}} %%%% dÈclarations pour le titre \author{Laurent Regnier\\ UniversitÈ de la MÈditerranÈe \and Roland Reinger\\ Institut …narretidem } \title{Suites de Goodstein et hydre de Lerne\\ \small TER de maÓtrise} %\date{} %%%% fin du prÈambule, on passe au contenu : tout le texte entre %%%% \begin{document} et \end{document} \begin{document} \maketitle % Un petit rÈsumÈ \begin{abstract} Dans ce rapport on va montrer qu'aussi surprenant que cela puisse paraÓtre, toute suite de Goodstein est ultimement stationnaire et qu'Hercule finit par vaincre l'hydre. \end{abstract} % Les commandes de sectionnement (\chapter, \section, \subsection, \etc.) % sont automatiquement numÈrotÈs, et permettent de produire facilement % une table des matiËres au moyen de : \tableofcontents \section{Introduction} On va parler de suites de Goodstein et d'hydre de Lerne. En particulier on exposera l'intÈressant thÈorËme~\ref{theo-ordinaux} % la commande \ref rÈpond % ‡ la commande \label % (voir plus bas) qui contient l'Èquation~\ref{eq-zero}. Mais ‡ dire vrai c'est surtout un prÈtexte pour donner quelques exemples d'utilisation de \LaTeX. Par exemple comment fait on pour crÈer un nouveau paragraphe~? C'est trËs simple, on saute une ligne. Cela termine le paragraphe courant et en commence un nouveau. En \LaTeX{} un blanc est Ègal ‡ plusieurs blancs~; les blancs en dÈbut de ligne sont totalement ignorÈs, de mÍme que les blancs suivant un nom de macro% ici on insËre une note en bas de page \footnote{C'est pour cette raison que dans le source \LaTeX{} de ce fichier les utilisations de la macro \texttt{$\backslash$LaTeX}, ainsi que d'autres macros sans arguments sont (presque) toujours suivies d'un groupe vide \texttt{\{\}}.% }~; un saut de ligne est Èquivalent ‡ un blanc ‡ la rËgle ci-dessus prËs~: deux (ou plus) sauts de lignes consÈcutifs ouvrent un nouveau paragraphe. Enfin tous les caractËres suivant un \% et sur la mÍme ligne, \emph{y compris le caractËre de fin de ligne} s% il n'y aura pas de blanc entre % ce 's' et le 'o' suivant car % toutes les fins de lignes sont % commentÈes et les blancs en % dÈbut de ligne sont % ignorÈs. % Voici le 'o' maintenant o% n% t % ignorÈs. \subsection{CaractËres accentuÈs} Une question intÈressante~: comment taper des caractËres accentuÈs si on n'a pas un clavier franÁais~? On peut configurer un clavier amÈricain pour obtenir les caractËres accentuÈs mais Áa n'est pas toujours simple. Une autre solution en \LaTeX{} est d'obtenir les accents au moyen de commandes~: la commande \verb|\'| produit un accent aigu sur la lettre qui suit, si on tape par exemple \verb|\'elite|, on obtient <<~\'elite~>>. De mÍme les commandes \verb|\`| et \verb|\^| produisent respectivement un accent grave et un accent circonflexe (comme dans p\^eche et m\`eche) ; pour obtenir un c cÈdille on tape \verb|\c{c}| (fa\c{c}on). Remarquons que ces commandes fonctionnent quelque soit la lettre que l'on accentue, par exemple on peut facilement faire \`A ou \~n, voire \'P (P accent aigu) ou \c{O} (O cÈdille). Jeu~: deviner quelle commande produit le trÈma. \section{DÈfinitions} \subsection{Ensemble bien ordonnÈ} % Utilisation de l'environnement dÈfini dans le prÈambule \begin{de} Un ensemble $X$ muni d'une relation d'ordre $<$ est \emph{bien ordonnÈ} si~: \begin{itemize} \item la relation $<$ est totale~; \item toute partie non vide de $X$ a un plus petit ÈlÈment. \end{itemize} \end{de} \subsection{Ordinaux} \begin{de}\label{def-ordinaux} % La commande \label peut se mettre dans % tout contexte numÈrotÈ par LaTeX (ici % l'environnement dÈfinition) Un \emph{ordinal} est un ensemble bien ordonnÈ par la relation $\in$. \end{de} \subsection{ArithmÈtique ordinale} \begin{theo}\label{theo-ordinaux} Les opÈrations ordinales vÈrifient les propriÈtÈs suivantes~: \begin{eqnarray} \alpha + 0 &=& \alpha\label{eq-zero}\\ (\alpha + \beta)\ordmult\gamma &=& \alpha\ordmult\gamma + \beta\ordmult\gamma\\ \alpha^{\beta + 1} &=& \alpha^\beta\ordmult\alpha \end{eqnarray} \end{theo} \subsection{Exemple de suite de Goostein} \begin{displaymath} \begin{array}{|c|c|c|} % trois colonnes centrÈes dÈbutant, sÈparÈes et % finissant par des lignes verticales \hline % une ligne horizontale pour commencer le tableau j & G_i & i\\ % une ligne ; les colonnes sont sÈparÈes par &, la ligne est %terminÈe par \\ \hline \multicolumn{3}{c}{\strut}\\ % une ligne d'une seule colonne (centrÈe) % ‡ la place de trois. La commande \strut % insËre une espace vertical correspondant ‡ % une ligne \hline 2 & 100 & 2\\ \hline 3 & 100 & 3\\ \hline \end{array} \qquad % insËre une espace de deux quadratins entre les deux tableaux \begin{array}{|c|c|c|} \hline j & G_i & i\\ \hline \multicolumn{3}{c}{\strut}\\ \hline 2 & 100 & 2\\ \hline 3 & 100 & 3\\ \hline \end{array} \end{displaymath} \section{Quelques thÈorËmes qui n'ont rien ‡ voir} \begin{theo} La formule d'Euler~: \begin{equation} \expo e{2i\pi}=1 % on utilise la macro dÈfinie dans le prÈambule \end{equation} \end{theo} \begin{prop} La somme des $n$ premiers entiers est~: \begin{displaymath} \sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}2 \end{displaymath} \end{prop} % \ref et \pageref permettent de rÈfÈrencer une dÈfinition, un thÈorËme ou une % Èquation nommÈ par \label. Cette propriÈtÈ est fausse dans le cas des ordinaux (voir dÈfinition~\ref{def-ordinaux}, page~\pageref{def-ordinaux}). \begin{theo}[Nombre d'or] Le dÈveloppement en fraction continue du nombre d'or est~: \begin{equation*} % L'environnement equation numÈrote % l'Èquation. L'Ètoile spÈcifie de ne pas mettre % de numÈro \varphi = \cfrac 1{1+\cfrac 1{1 + \cfrac 1{1 + \dotsb}}} \end{equation*} \end{theo} \begin{theo}\label{theo-log2} La fonction $\log_2$ dÈfinie par \begin{displaymath} \log_2 x = \frac{\log x}{\log 2} \end{displaymath} est l'inverse (‡ droite) de la fonction <<~2 puissance~>>~/ \begin{displaymath} 2^x = e^{x\log 2} \end{displaymath} \end{theo} En effet on a le calcul suivant~: % eqnarray est un environnement utile pour aligner des Èquations. On peut aussi % utiliser gather pour mettre des formules les unes sous les autres. Comme % avant l'Ètoile signifie que l'on ne veut pas numÈroter les Èquations. \begin{eqnarray*} 2^{\log_2 x} &=& e^{\log 2\frac{\log x}{\log 2}}\\ &=& e^{\log x}\\ &=& x \end{eqnarray*} Et voici un dernier petit calcul pour la route, afin de montrer l'usage de l'environnement \texttt{align}. % \texttt{texte} formatte le texte en police % 'typewriter', c'est ‡ dire ‡ chasse fixe Ce calcul dÈmontre que dans un anneau commutatif, $0$ (l'ÈlÈment neutre de l'addition) est absorbant pour la multiplication~: % align est un environnement plus souple que eqnarray pour aligner des % Èquations ; en particulier le nombre de colonnes n'est pas limitÈ. \begin{align*} 0x &= 0x + 0 & \text{car $0$ est ÈlÈment neutre de $+$}\\ &= 0x + (0x + (-0x)) & \text{car $-0x$ est l'opposÈ de $0x$ pour $+$}\\ &= (0x + 0x) + (-0x) & \text{par associativitÈ de $+$}\\ &= (0 + 0)x + (-0x) & \text{par distributivitÈ}\\ &= 0x + (-0x) & \text{car $0$ est neutre, donc $0+0=0$}\\ &= 0 & \text{car $-0x$ est l'opposÈ de $0x$} \end{align*} \end{document} C'est fini ! Tout ce qui vient aprËs \end{document} est ignorÈ par LaTeX $