balance romaine

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\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)

\(\newcommand \footnote [2][]{\text {( Footnote #1 )}}\)

\(\newcommand \footnotemark [1][]{\text {( Footnote #1 )}}\)

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<a id="Exoset_BalanceRomaine_enonce_solution-autopage-1"></a>
<div class="titlepage">

<h1>Balance Romaine</h1>

<div class="author">

<div class="oneauthor">

</div>

</div>

<div class="titledate">

<p>
11 juillet 2019
</p>
</div>

</div>
<div class="center">

<p>
Balance Romaine
</p>

<p>
(énoncé)
</p>

</div>

<p>
La figure ci-dessous schématise le fonctionnement d’une balance romaine. Il s’agit d’une tige horizontale. En
\(O\) un fil permet é l’utilisateur de supporter la balance. A l’extrémité \(A\) (\(AO = d_0\) connu) est
fixé un plateau de masse connue \(m_0\) sur lequel est posé la masse \(m\) qu’il s’agit de mesurer. Pour
assurer l’équilibre on pose quelque part en \(B\) (\(OB = d\)) un contre poids de masse donnée \(M\).
</p>

<figure id="autoid-1" class="figure ">
<div class="center">

<p>

<a href="https://moodle.epfl.ch/draftfile.php/2246983/user/draft/56916781/BalanceRomaine/Fig_balance.svg" target="_blank"><img src="https://moodle.epfl.ch/draftfile.php/2246983/user/draft/56916781/BalanceRomaine/Fig_balance.svg" style="
     width:260pt;
     " class="inlineimage" alt="(image)"></a>
</p>
</div>

</figure>

<ul style="list-style-type:none">

<li>
<p>
1. En fonction des données \(d_0\), \(m_0\), \(m\) et \(M\) exprimer la force de soutien \( F\) ainsi que
les moments de toutes les forces en présence par rapport é \(O\) lorsque l’équilibre est assuré (on néglige le
poids de la tige horizontale). En déduire la valeur de la distance \(d\) en fonction des données \(M\)
\(m_0\) et \(d_0\).
</p>

</li>
<li>
<p>
2. Méme question en choisissant le point \(B\) pour exprimer les moments de force.
</p>

</li>
<li>
<p>
3. Dans le cas oé \(m_0\) = 20 g, \(M\) = 80 g \(d_0\) = 5 mm et \(d_{\textrm {max}}\) = 300 mm
déterminer la masse maximum qu’il est possible de mesurer ainsi que la graduation pour des augmentation
\(\Delta m\) de la masse é mesurer de 100 g. A quelle distance \(d\) doit on placer le contre poids si \(m\)
= 0.
</p>

</li>
<li>
<p>
4. Si l’on souhaite augmenter la précision é savoir disons obtenir un \(\Delta d\) de 20 mm par 100 g
d’augmentation de \(m\) oé doit-on placer le fil de soutien. Quelle autre variable a-t-on é
disposition ?
</p>
</li>
</ul>
<div class="center">

<p>
Balance Romaine
</p>

<p>
(Solution)
</p>

</div>

<p>
D’abord faisons l’inventaires des forces.
</p>

<p>
Il y a, en \(A\), le poids du plateau \(m_0\vec {g}\) et le poids \(m\vec {g}\) de l’objet de masse inconnue
\(m\) dirigés tous deux vers le bas. En \(B\), il y a le poids \(M\vec {g}\) de la masse \(M\) aussi dirigé
vers le bas. Enfin il y a la force de soutien de l’utilisateur \(\vec {F}\) en \(O\).
</p>

<p>
Comme on est é l’équilibre, la somme des forces est nulle on a
</p>

<!--


                               F~ + m0~g + m~g + M~g = F~ + (m0 + m + M )~g = 0                              (1)


-->

<p>

\begin{equation} \vec { F} +m_0\vec {g}+m\vec {g}+M\vec {g}=\vec { F} +(m_0+m+M) \vec {g}=0
\end{equation}

</p>

<p>
On peut projeter cette équation sur l’axe vertical \(z\) et obtenir une équation scalaire&nbsp;:
</p>

<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {2} \) </span>
</p>
<!--


                                            F − (m0 + m + M )g = 0                                           (2)


-->

<p>

\begin{equation} F - (m_0+m+M)g=0 \end{equation}

</p>

<p>
C’est la premiére condition pour assurer l’équilibre. Mais il faut encore écrire la deuxiéme condition, é savoir
que la somme des moments des forces par rapport é n’importe quel point est aussi nulle. Le systéme est
horizontal et donc les vecteurs \(OA\) et \(OB\) sont perpendiculaires é la direction des forces&nbsp;:
\(\sin \theta = \pm 1\).
</p>

<figure id="autoid-2" class="figure ">
<div class="center">

<p>
<span id="lateximage-Exoset_BalanceRomaine_enonce_solution-1" class="lateximagesource"><!--
                 fil

                 F~


A      do              d   B
•           •              •
            O
                               M~g
    (m0 + m)~g
--><img src="https://moodle.epfl.ch/draftfile.php/2246983/user/draft/56916781/BalanceRomaine/Exoset_BalanceRomaine_enonce_solution-images/image-1.svg" alt="(image)" style="" class="lateximage"></span>
</p>
</div>

</figure>

<ul style="list-style-type:none">

<li>
<p>
1. Le point de référence est le point \(O\). Le moment des forces de poids en \(A\) s’écrit&nbsp;:
</p>
<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {3} \) </span>
</p>
<!--

                           Mo ((mo + m)~g ) = (mo + m)g do sin θ = (mo + m)g do                           (3)


-->
<p>

\begin{equation} M_o \left ((m_o+m) \vec {g} \right ) = (m_o + m)g\ d_o\sin \theta = (m_o + m)g\
d_o \end{equation}

</p>
<p>
Le sens de rotation associé é ce moment est contraire é celui des aiguilles d’une montre donc positif.
</p>
<p>
En \(B\), le sens de rotation associé est négatif.
</p>
<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {4} \) </span>
</p>
<!--

                                     Mo (M~g ) = M gd sin(−θ) = −M gd                                     (4)


-->
<p>

\begin{equation} M_o \left ( M \vec {g}\ \right ) = Mg d \sin (-\theta )= -Mg d \end{equation}

</p>
<p>
\(F\) agissant en \(O\) n’a pas de moment par rapport é \(O\). Exprimons que la somme des moments est
nulle
</p>
<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {5} \) </span>
</p>
<!--

                                          (mo + m)gdo − M gd = 0                                          (5)

-->
<p>

\begin{equation} (m_o +m)g d_o - Mgd = 0 \end{equation}

</p>
<p>
d’oé on tire la condition d’équilibre
</p>
<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {6} \) </span>
</p>
<!--

                                                   (m0 + m) d0
                                              d=                                                          (6)
                                                       M

-->
<p>

\begin{equation} d = \dfrac {(m_0 + m) \, d_0}{M} \end{equation}

</p>
</li>
<li>
<p>
2. Le point de référence est maintenant le point \(B\). La force \(M\vec { g}\) n’a pas de moment, mais
\(\vec { F}\) a un moment. On procéde comme sous a).
</p>
<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {7} \) </span>
</p>
<!--

                     MB ((mo + m)~g ) = (mo + m)g (do + d) sin θ = (mo + m)g (do + d)                     (7)


-->
<p>

\begin{equation} M_B \left ((m_o+m) \vec {g} \right ) = (m_o + m)g\ (d_o+d) \sin \theta = (m_o +
m)g\ (d_o+d) \end{equation}

</p>
<p>
Son sens de rotation associé est positif. Pour le moment de \(\vec {F} \) il vient&nbsp;:
</p>
<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {8} \) </span>
</p>
<!--
                                                   
                                                 Mo F~ = −F d                                             (8)


-->
<p>

\begin{equation} M_o \left ( \vec {F} \right ) = -Fd \end{equation}

</p>
<p>
Exprimons que la somme des moments est nulle&nbsp;:
</p>
<p>
<span class="hidden"> \( \seteqnumber {9} \) </span>
</p>
<!--

                                         (m0 g + mg)(d + d0 ) − F d =                                     (9)


-->
<p>

\begin{equation} (m_0g + m g) (d+d_0) - F d = \end{equation}

</p>
<p>
Avec la condition \(\sum _{i} \vec {F}_{i} = 0\), on retrouve bien la méme condition d’équilibre que sous
a).
</p>
</li>
<li>
<p>
3. Avec les données numériques on trouve \(M_{\textrm {max}}\) = 4.780 Kg. De la relation d’équilibre on
tire que \(\Delta d = \Delta m d_0/M\). Ainsi, pour une augmentation de masse \(m\) de 100 g on aura
un déplacement de la masse \(M\) de 6.25 mm. Si \(m = 0\) on doit mettre la masse \(M\) é \(d_0\) =
1.25 mm.
</p>
</li>
<li>
<p>
4. On reprend la relation des variations développée sous c) en écrivant \(d_0 = M \Delta d/ \Delta m\) et
on trouve que pour un déplacement de la masse \(M\) de 20 mm pour \(m\) =100 g il faut placer le fil de
soutien é \(d_0\) = 16 mm. Ce type de balance permet effectivement de modifier la gamme de mesure des
masses soit en utilisant des fils de soutien plus éloigné de \(A\) soit en diminuant la valeur de la masse
\(M\).
</p>
</li>
</ul>
<div class="center">

<p>
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