boule de neige

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<title>Boule de neige</title> 
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<!-- https://groups.google.com/forum/#!topic/
                                      mathjax-users/jUtewUcE2bY --> 
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Register.StartupHook("TeX AMSmath Ready",function () {
      var seteqsectionDefault = {name: "", num: 0};
      var seteqsections = {}, seteqsection = seteqsectionDefault;
      var TEX = MathJax.InputJax.TeX, PARSE = TEX.Parse;
      var AMS = MathJax.Extension["TeX/AMSmath"];
      TEX.Definitions.Add({
      macros: {
            seteqsection: "mySection",
            seteqnumber: "mySetEqNumber"
      }
      });


      PARSE.Augment({
      mySection: function (name) {
            seteqsection.num = AMS.number;
            var n = this.GetArgument(name);
            if (n === "") {
                seteqsection = seteqsectionDefault;
            } else {
                if (!seteqsections["_"+n])
                     seteqsections["_"+n] = {name:n, num:0};
                seteqsection = seteqsections["_"+n];
            }
            AMS.number = seteqsection.num;
      },
      mySetEqNumber: function (name) {
            var n = this.GetArgument(name);
            if (!n || !n.match(/^ *[0-9]+ *$/))
                n = "";
            else
                n = parseInt(n)-1;
            <!-- $ syntax highlighting -->
            if (n === "" || n < 1)
                TEX.Error
                ("Argument to "+name+" should be a positive integer");
            AMS.number = n;
      }
      });
      MathJax.Hub.Config({
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            equationNumbers: {
                formatTag: function (n) {
                     <!-- if not numeric, don't include the chapter -->
                     if (!n.match(/^ *[0-9]+ *$/ ))
                     <!-- $ syntax highlighting -->
                          return "("+(n).replace(/^\./,"")+")" ;
                     else
                          return "("+(seteqsection.name+"."+n).replace(/^\./,"")+")" ;
                },
                formatID: function (n) {
                     n = (seteqsection.name+'.'+n).replace
                          (/[:"'<>&]/g,"").replace(/^\./,"");
                     return 'mjx-eqn-' + n;
                }
            }
      }
      });
});
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<!-- http://docs.mathjax.org/en/latest/options/ThirdParty.html --> 
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  MathJax.Ajax.config.path["Contrib"] =
      "https://cdn.mathjax.org/mathjax/contrib";
</script> 
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
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            extensions: ["autoload-all.js"] ,
            equationNumbers: {
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            }
      }
});
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<!-- Alternative CDN provider: --> 
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<!-- No longer supported after April 30, 2017: --> 
<!--
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  src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML-full">
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</header> 
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   <!--Nullify \ensuremath, footnotes for MathJax:--> \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand \footnote [2][]{\text {( Footnote #1 )}}\) \(\newcommand \footnotemark [1][]{\text {( Footnote #1 )}}\) 
   <!--Additional customizations for MathJax:--> 
   <a id="enonce_moodle-autopage-1"></a> 
   <div class="titlepage"> 
    <h1>Boule de neige</h1> 
    <div class="author"> 
     <div class="oneauthor"> 
     </div> 
    </div> 
    <div class="titledate"> 
     <p> 15 juillet 2019 </p> 
    </div> 
   </div> 
   <div class="center"> 
    <p> Boules de neige </p> 
    <p> (énoncé) </p> 
   </div> 
   <p> <span class="paragraph" id="autosec-4"></span> <a id="enonce_moodle-autopage-4"></a> </p> 
   <p> Un étudiant du cours de physique générale s’engage dans une bataille de boules de neige avec un ami. Cet ami parvient é rattraper les boules et é les renvoyer immédiatement. </p> 
   <p> <span class="paragraph" id="autosec-5"></span> <a id="enonce_moodle-autopage-5"></a> L’étudiant sait que pour qu’une boule de neige arrive é un point d’impact donné avec une vitesse initiale donnée, elle peut suivre deux trajectoires différentes correspondant é des angles de tirs et des temps de vols différents. Ainsi, pour gagner la partie, l’étudiant décide de jeter deux boules de neige, é des instants différents et avec des angles de tirs différents. La boule qui suit la trajectoire supérieure crée une diversion. Pendant que l’ami se prépare é l’attraper, la seconde boule arrive suivant la trajectoire inférieure et les deux boules le percutent simultanément ! Si les amis sont é une distance \(D\) l’un de l’autre et qu’ils lancent les boules avec une vitesse initiale de norme \(v_0\)&nbsp;: </p> 
   <ul style="list-style-type:none"> 
    <li> <p> a) Quels sont les angles de tir ? </p> </li> 
    <li> <p> b) Combien de temps faut-il attendre avant de jeter la deuxiéme boule ? </p> </li> 
   </ul> 
   <p> <span class="paragraph" id="autosec-6"></span> <a id="enonce_moodle-autopage-6"></a> Application numérique&nbsp;: \(D=25\,m\) et \(v_0=20\,m/s\). </p> 
   <div class="center"> 
    <p> <span class="fbox" style="display:inline-block ; border:1pt solid #000000; padding:3pt ; color:#000000"> <span class="inlineminipage"> <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Difficulté&nbsp;: Application <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Mots clés&nbsp;: Balance, Moment <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Chapitre&nbsp;: Balistique <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Auteur&nbsp;: anonyme <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Soumis par&nbsp;: Férbringer J.-M. <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Usage&nbsp;: Distinguer le tir en cloche du tir tendu <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Projet ExoSet La section de physique de l’EPFL met é disposition de ses étudiants une collection de problémes puisés dans les séries des enseignants de premiére année. Les utilisateurs de cette plateforme sont tenus de faire un usage loyal (fair use) des ressources documentaires en ligne mises é leur disposition&nbsp;: é reproduction et diffusion interdite é. <br><br> </span> </span> </p> 
   </div> 
  </section> 
 </div> 
</div> 
<footer> 
 <p> Copyright Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne </p> 
</footer>
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  <div id="demo" class="collapse"><header> 
</header> 
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  <section class="textbody"> 
   <!--Nullify \ensuremath, footnotes for MathJax:--> \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand \footnote [2][]{\text {( Footnote #1 )}}\) \(\newcommand \footnotemark [1][]{\text {( Footnote #1 )}}\) 
   <!--Additional customizations for MathJax:--> 
   <a id="solution_moodle-autopage-1"></a> 
   <div class="titlepage"> 
    <h1>Boule de neige</h1> 
    <div class="author"> 
     <div class="oneauthor"> 
     </div> 
    </div> 
    <div class="titledate"> 
     <p> 15 juillet 2019 </p> 
    </div> 
   </div> 
   <div class="center"> 
    <p> Boules de neige </p> 
   </div> 
   <div class="center"> 
    <p> (Solution) </p> 
   </div> 
   <dl> 
    <dt>
     Démarche&nbsp;:
    </dt> 
    <dd> 
     <p> On établit d’abord les équations du mouvement d’une boule de neige, puis on détermine les angles vérifiant les conditions initiales et finales de la trajectoire et les temps de vols. </p> 
    </dd> 
    <dt>
     Référentiel, repére et systéme&nbsp;:
    </dt> 
    <dd> 
     <p> On choisit comme référentiel la terre et comme repére le systéme de coordonnées cartésiennes dans le plan vertical \(Oxy\) centré sur la position de tir. Le systéme est la boule de neige. </p> 
    </dd> 
    <dt>
     Bilan des forces&nbsp;: 
    </dt> 
    <dd> 
     <p> La seule force présente est le poids (on néglige les frottement) </p> 
     <!--

                                                m ~g = − mg êy                                         (1)


--> 
     <p> \begin{equation} m\,\vec {g}=-\,mg\,\hat {e}_y \end{equation} </p> 
    </dd> 
    <dt>
     Loi du mouvement&nbsp;:
    </dt> 
    <dd> 
     <p> On applique la deuxiéme loi de Newton </p> 
     <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {2} \) </span> </p> 
     <!--

                                                 Σ F~ ext = m ~a                                        (2)


--> 
     <p> \begin{equation} \Sigma \,\vec {F}^{\,\text {ext}} = m\,\vec {a} \end{equation} </p> 
     <div class="center"> 
      <div class="minipage" style="vertical-align:bottom ; justify-content:flex-start ;
width:269pt ; "> 
       <p> <b>Conditions initiales&nbsp;:</b> A \(t=0\) on a </p> 
       <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {3} \) </span> </p> 
       <!--
                                          
                                          
                                            x (0) = 0
                                          
                                          y (0) = 0
                                          
                                          
                                            ẋ (0) = v0 cos θ
                                             ẏ (0) = v0 sin θ
                                          

--> 
       <p> \begin{equation*} \begin {cases} x\left (0\right )=0 \\ y\left (0\right )=0 \\ \dot {x}\left (0\right )=v_0\cos \theta \\ \dot {y}\left (0\right )=v_0\sin \theta \end {cases} \end{equation*} </p> 
      </div> 
      <div class="minipage" style="vertical-align:bottom ; justify-content:flex-start ;
width:221pt ; "> 
       <div class="center"> 
        <p> <a href="figures//Corr_BoulesNeige_FIG1.svg" target="_blank"><img src="figures//Corr_BoulesNeige_FIG1.svg" style="
           width:139pt;
           " class="inlineimage" alt="(image)"></a> </p> 
       </div> 
      </div> 
     </div> 
    </dd> 
    <dt>
     Conditions d’impact
    </dt> 
    <dd> 
     <p> A \(t=t_i\)) on a </p> 
     <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {3} \) </span> </p> 
     <!--
                                                (
                                                  x (ti ) = D
                                                  y (ti ) = 0

      --> 
     <p> \begin{equation*} \begin {cases} x\left (t_i\right )=D \\ y\left (t_i\right )=0 \end {cases} \end{equation*} </p> 
    </dd> 
    <dt>
     Equations du mouvement&nbsp;:
    </dt> 
    <dd> 
     <p> On projette la loi du mouvement \(m\,\vec {g}= m\,\vec {a}\) selon les axes horizontal \(\hat {e}_x\) et vertical \(\hat {e}_y\), et on intégre en tenant compte des conditions initiales, i.e. <span class="hidden"> \( \seteqnumber {3} \) </span> </p> 
     <!--


(3)                • êx :   ẍ (t) = 0     ⇒   ẋ (t) = v0 cos θ   ⇒     x (t) = v0 cos θt-->
     <a , id="eq mvt x"></a>
     <!--
                                                                                              1 2
(4)                • êy :   ÿ (t) = − g   ⇒     ẏ (t) = − gt + v0 sin θ ⇒ y (t) =-->
     <a − gtid="eq      θt .y"></a>
     <!--
                                                                                                          mvt
                                                                                                   + v0 sin
                                                                                              2

      --> 
     <p> \begin{align} \label {eq mvt x} &amp;\bullet \ \hat {e}_x:\quad \ddot {x}\left (t\right )=0\quad \Rightarrow \quad \dot {x}\left (t\right )=v_0\cos \theta \quad \Rightarrow \quad x\left (t\right )=v_0\cos \theta t\ ,\\ \label {eq mvt y} &amp;\bullet \ \hat {e}_y:\quad \ddot {y}\left (t\right )=-\,g\quad \Rightarrow \quad \dot {y}\left (t\right )=-\,gt + v_0\sin \theta \quad \Rightarrow \quad y\left (t\right )=-\,\frac {1}{2}\,gt^2 + v_0\sin \theta t\ . \end{align} </p> 
    </dd> 
   </dl> 
   <p> <span class="paragraph" id="autosec-10"></span> <a id="solution_moodle-autopage-10"></a> Maintenant que le systéme a été correctement décrit du point de vue mécanique, on peut répondre au questions du probléme </p> 
   <ul style="list-style-type:none"> 
    <li> <p> a) Les équations du mouvement&nbsp;<span class="textup">(<a href="solution_moodle.html#eq mvt x">3</a>)</span> et&nbsp;<span class="textup">(<a href="solution_moodle.html#eq mvt y">4</a>)</span> au point d’impact \(\left (D,0\right )\) et au temps d’impact \(t=t_i\) donnent, <span class="hidden"> \( \seteqnumber {5} \) </span> </p> 
     <!--


                                                           (5)D = v0 cos θti ,         --><a id="impact 0"></a>
     <!--
                                                            1
                                                        = − gt2i + v0 sin θti .
                                                     0 (6)                          --><a id="impact 0 bis"></a>
     <!--
                                                            2

--> <p> \begin{align} \label {impact 0} D=v_0\cos \theta t_i\ ,\\ \label {impact 0 bis} 0=-\,\frac {1}{2}\,gt_i^2 + v_0\sin \theta t_i\ . \end{align} </p> <p> En substituant l’équation&nbsp;<span class="textup">(<a href="solution_moodle.html#impact 0">5</a>)</span> dans la seconde équation&nbsp;<span class="textup">(<a href="solution_moodle.html#impact 0 bis">6</a>)</span>, celle-ci se réduit é </p> <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {7} \) </span> </p> 
     <!--
               gD
                   = 2 sin θ cos θ .                        (7)                         --><a id="impact 1"></a>
     <!--
               v02

--> <p> \begin{equation} \label {impact 1} \frac {gD}{v_0^2} = 2\sin \theta \cos \theta \ . \end{equation} </p> <p> De la relation trigonométrique \(\sin \left (2\theta \right )=2\sin \theta \cos \theta \), on tire que </p> <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {8} \) </span> </p> 
     <!--
                  gD
                      = sin (2θ) .                          (8)                         --><a id="impact 2"></a>
     <!--
                  v02

--> <p> \begin{equation} \label {impact 2} \frac {gD}{v_0^2} = \sin \left (2\theta \right )\ . \end{equation} </p> <p> La relation d’équivalence trigonométrique \(\sin \left (2\theta \right ) = \sin \left (\pi -2\theta \right )\), implique que l’équation&nbsp;<span class="textup">(<a href="solution_moodle.html#impact 2">8</a>)</span> a deux solutions, i.e. </p> <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {9} \) </span> </p> 
     <!--
                              
                 1         gD
          θ1 = arcsin             ,
          
          
                 2          v02                 (9)                         --><a id="sol bal"></a>
     <!--
                 π 1              gD
          θ2 = − arcsin                .
          
          
                 2    2           v02

--> <p> \begin{equation} \label {sol bal} \begin {cases} \theta _1 = \displaystyle {\frac {1}{2}\arcsin \left (\frac {gD}{v_0^2}\right )}\ ,\\ \theta _2 = \displaystyle {\frac {\pi }{2}-\frac {1}{2}\arcsin \left (\frac {gD}{v_0^2}\right )}\ . \end {cases} \end{equation} </p> <p> <i>Application numérique&nbsp;:</i> \(\theta _1 = 18.9^{\circ }\quad \) et \(\quad \theta _2 = 71.1^{\circ }\quad \) avec \(\quad g = 9.81\,m/s^2\). </p> </li> 
    <li> <p> b) Le temps de vol \(t_{1,2}\) des boules \(1\) et \(2\) est déduit de l’équation&nbsp;<span class="textup">(<a href="solution_moodle.html#impact 0">5</a>)</span>, i.e. </p> <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {10} \) </span> </p> 
     <!--
                               D
              t1,2 =                   .                  (10)                         --><a id="temps vol"></a>
     <!--
                           v0 cos θ1,2

--> <p> \begin{equation} \label {temps vol} t_{1,2} = \frac {D}{v_0\cos \theta _{1,2}}\ . \end{equation} </p> <p> La différence de temps de vol \(\Delta t\) est donnée par </p> <p> <span class="hidden"> \( \seteqnumber {11} \) </span> </p> 
     <!--

                                            
                  D          1        1
 ∆t = t2 − t1 =                   −              . (11)                           --><a id="diff temps vol"></a>
     <!--
                  v0       cos θ2   cos θ1

--> <p> \begin{equation} \label {diff temps vol} \Delta t=t_2-t_1 = \frac {D}{v_0}\left (\frac {1}{\cos \theta _2}-\frac {1}{\cos \theta _1}\right )\ . \end{equation} </p> <p> <i>Application numérique&nbsp;:</i> \(t_1 = 1.32\,s\), \(\quad t_2 = 3.86\,s\quad \) et \(\quad \Delta t = 2.54\,s\). </p> <p> </p> </li> 
   </ul> 
   <div class="center"> 
    <p> <span class="fbox" style="display:inline-block ; border:1pt solid #000000; padding:3pt ; color:#000000"> <span class="inlineminipage"> <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Difficulté&nbsp;: Application <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Mots clés&nbsp;: Balance, Moment <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Chapitre&nbsp;: Balistique <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Auteur&nbsp;: anonyme <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Soumis par&nbsp;: Férbringer J.-M. <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Usage&nbsp;: Distinguer le tir en cloche du tir tendu <br> <span style="width:5.87494pt; display:inline-block"></span>Projet ExoSet La section de physique de l’EPFL met é disposition de ses étudiants une collection de problémes puisés dans les séries des enseignants de premiére année. Les utilisateurs de cette plateforme sont tenus de faire un usage loyal (fair use) des ressources documentaires en ligne mises é leur disposition&nbsp;: é reproduction et diffusion interdite é. <br><br> </span> </span> </p> 
   </div> 
  </section> 
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  </div>
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<div class="important">
<ul>
<li><a href="https://www.zuj.edu.jo/?wpdmdl=12756/">télécharger la solution</a></li>
</ul>
</div>

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</html>