Introduction aux géométries de Hilbert.

Bruno Colbois, 31 mai 2007

A tout ouvert convexe, borné de l'espace euclidien, on peut attacher de manière naturelle une distance, la distance de Hilbert. Lorsque le convexe est un ellipsoïde, on retrouve le modèle de Klein de la géométrie hyperbolique, et en ce sens, les géométries de Hilbert peuvent être vues comme une généralisation de la géométrie hyperbolique.

Le but de cet exposé est de définir ces géométries, de montrer qu'elles sont associées naturellement à une métrique de Finsler sur le convexe, et de présenter leurs propriétés. Au cours de l'exposé, on présentera (sans preuve) un certain nombre de résultats récents concernant les géométries de Hilbert, ainsi que quelques questions ouvertes.