Résumé :

La systole d'une surface hyperbolique est la longueur de sa plus petite géodésique fermée non triviale (incontractile et non homotope à un bord ou une pointe). C'est l'analogue hyperbolique de l'invariant d'Hermite des réseaux euclidiens. Le problème classique concernant la systole (ou l'invariant d'Hermite) consiste en la détermination de sa borne supérieure (en fait un maximum) sur l'espace des modules. Dans un premier temps je tenterai de brosser un petit panorama du sujet (cadre théorique, inégalités connues...). Je décrirai ensuite quelques résultats nouveaux obtenus en étudiant les configurations de géodésiques systole dans les surfaces hyperboliques non orientables.