Résumé :

Bers a montré que l'on peut couper toute surface hyperbolique (d'aire finie) le long de courbes "pas trop longues" afin que le résultat soit un ensemble de sphères à trois bords. Le terme "pas trop longues" signifie que la longueur de chaque courbe est bornée par une constante (de Bers justement) qui ne dépend que de la topologie de la surface et non pas de la métrique. Une question naturelle que l'on peut se poser est de savoir quel est le comportement de cette constante en fonction de la topologie. Les meilleurs bornes (inférieures et supérieures) connues sont dues à Peter Buser qui a conjecturé l'existence d'une constante universelle U telle que la constante de Bers est bornée (supérieurement) par U fois la racine de l'aire (qui elle dépend linéairement de la caractéristique d'Euler). Le but de l'exposé sera de mettre cette question dans un contexte plus général de problèmes de croissance liés aux surfaces hyperboliques, et ensuite de présenter une solution à la conjecture dans le cadre des sphères pointées et des surfaces hyperelliptiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Florent Balacheff.