Inégalités isopérimétriques et le rang asymptotique d'un espace métrique

Stefan Wenger (Université Paris-Sud, Orsay)

Soit X un espace CAT(0), par exemple une variété riemannienne simplement connexe de courbure sectionnelle négative ou nulle. On sait (par un théorème de M. Gromov dans le cas des variétés de Hadamard et par l'auteur dans le cas général) que X admet une inégalité isopérimétrique de type euclidien en dimension m, ce qui veut dire que tout cycle Lipschitzien de dimension m dans X et de volume r^m borde une chaîne de dimension m+1 dont le volume est borné par Cr^(m+1), où C est une constante qui ne dépend que de m.
On démontrera dans cet exposé que, si m est plus grand ou égal au rang asymptotique de X, X admet une inégalité isopérimétrique sous-euclidienne en dimension m. Ce résultat a plusieurs corollaires, notamment il permet de démontrer un analogue du lemme de Morse pour des quasi-minimiseurs de dimension m=rang(X).
On proposera aussi une définition du rang asymptotique pour un espace métrique quelconque et donnera une généralisation des résultats ci-dessus. En particulier, on discutera en détail le cas de rang(X)=1, qui est équivalent à l'hyperbolicité au sens de Gromov.