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Courbe modulaire ultramétrique et Équidistribution galoisienne
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    Courbe modulaire ultramétrique et Équidistribution galoisienne

Groupe de travail à l'ÉPFL pour la chaire de théorie analytique des nombres (Retour à la page des groupes / Correspondance Thêta)

Responsable: rodolphe.richard (at epfl point ch)

Thèmes-clefs: Courbe modulaire, Correspondances de Hecke, Espaces de Berkovich, Uniformisation p-adique, Équidistribution.
Courbes elliptiques, Modules supersinguliers, Courbe de Tate, Relèvelement canonique, Périodes cristallines, Points spéciaux, Théorie de Brandt-Eichler-Gross, ...

Résumé: À toute courbe algébrique C sur un corps ultramétrique, V. Berkovich associe une « courbe analytique », dont l'espace topologique sous-jacent réunit les bonnes propriétés d'être localement compact, connexe si C l'est, localement connexe par arcs et de dimension topologique 1.

Partant de la courbe modulaire sur Qp, nous nous intéresserons à la dynamique des correspondances de Hecke sur la courbe analytique correspondante. Cela nous servira de prétexte à introduire aux espaces de Berkovich, et à la géométrie p-adique de la courbe modulaire. Nous serons amenés à revoir dans ce contexte différents résultats classiques d'uniformisation: la courbe de Tate, la coordonnée canonique de Serre-Tate, les périodes cristallines de Gross-Hopkins.

Programme:

En principe une semaine sur deux, en alternance avec le groupe Correspondance thêta, le vendredi de 14 à 16 heures, en salle MA-A10. le jeudi de 10.15 à 12h. (L'exposé de ricardo ne pourra avoir le lieu le 26 novembre, venez écouter J.-P. Serre ce jour là.)

  • Première séance le vendredi 16 octobre 2009, de 14 à 16 heures (salle MA-A10): Introduction (R. Richard)
  • Variable analytique p-adique, d'après Berkovich (I) (R. Richard, jeudi 29 octobre, 10 h. 15 min.)
  • Variable analytique p-adique, d'après Berkovich (II) (R. Richard, jeudi 12 novembre, 10 h. 15 min.)
  • Courbes elliptiques et Courbes modulaires (I), (R. Menares, 10 décembre)
  • Courbes elliptiques et Courbes modulaires (II) (R. Menares, 25 février)
  • Uniformisation des courbes elliptiques de Tate, (M. Cossuta, probablement mars)
  • Serre-Tate canonical lifting and canonical coordinate (J. van Order, à venir)
  • Section analytique de X0(p) (H. Wu, à venir)
  • périodes cristallines de Gross-Hopkins ...

 

Notes d'exposés ou résumés:

  •  Variable analytique p-adique, d'après Berkovich (I): (29 octobre)
  1. Définition du spectre analytique d'une Qp-algèbre de Banach, comme espace topologique.
  2. Description du disque analytique fermé: points de type 1, 2, 3, 4, sa topologie. Énoncé des propriétés générales.
  3. Remarque sur la droite affine et la droite projective
  •  Variable analytique p-adique, d'après Berkovich (II): (12 novembre)
  1. Définition des fonctions holomorphes, méromorphes. Exemples.
  2. Quelques propriétés: zéro isolés, ouverture, théorèmes de Picard, de Liouville.
  3. Faisceau structural. (Bonnes) Courbes analytiques. Exemples.
  4. Énoncé du GAGA. Conséquences. Genre de la courbe de Tate.
  5. Action d'une correspondance algébrique.
  6. Références pour les deux exposés: Espaces de Berkovich, numéros 2, 1, et 7 infra; notes d'exposé (à venir).
  • Courbes elliptiques et Courbes modulaires (I) (10 Décembre)
Nous décrivons la courbe modulaire de niveau N en tant que surface de  
Riemann, ainsi que les correspondances de Hecke. Ensuite nous  
expliquons l'interprétation modulaire (sur les nombres complexes) de  
ces objets. Nous présentons le théorème d'équirépartition (par rapport  
à la mesure hyperbolique) des orbites des points par des  
correspondances de Hecke. Nous finissons pour expliquer les grandes  
lignes de la démonstration du dit théorème en utilisant la  
décomposition spectrale de l'espace des fonctions de carré integrable  
de la courbe modulaire de niveau 1.
  • Courbes elliptiques et Courbes modulaires (II) (titre provisoire, exposé le Jeudi jeudi 25 février)

     
  • La Courbe de Tate (titre provisoire, exposé à venir)

Références:

  1. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, et Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves.
  2. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic forms
  3. Deuring, Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper. (German), Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 14, (1941). 197--272.
  • Espaces de Berkovich
  1. Berkovich, Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields.
  2. J. Poineau, Thèse de Doctorat.
  3. M. Baker et R. Rumely, Potential theory on the Berkovich projective line.
  4. A. Ducros, Gazette des math, et Séminaire Bourbaki.
  5. A. Ducros, Triangulations et cohomologie étale sur une courbe analytique p-adique, J. Algebraic Geom. 17 (2008), n° 3, 503-575
  6. A. Ducros, Travail en cours.
  7. A. Ducros, Prépublication 03-41 de l' IRMAR intitulée Étude de quelques propriétés locales et globales des espaces de Berkovich
  • La courbe de Tate
  1. J. Tate, A review of non-Archimedean elliptic functions, dans Elliptic curves, modular forms, & Fermat's last theorem (Hong Kong, 1993)
  2. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves
  3. Silverman, Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves, Chapitre V, sections §3 et §4.
  4. www.dma.ens.fr/~wittenberg/uniformisation.pdf
  • Relèvement (quasi-)canonique, coordonnée canonique
  1. Lubin-Serre-Tate, Elliptic curves and formal groups
  2. Deligne, Cristaux ordinaires et Coordonnées canoniques, LNM 868, exposé V.
  3. Katz, Serre-Tate local moduli, LNM 868, exposé Vbis.
  4. Gross, On canonical and quasi-cannical lifting,  Invent. Math. 84 (1986), n° 2, 321--326.
  5. Grothendieck, Groupes de Barsotti-Tate et Cristaux de Dieudonné, cours à Montréal
  6. Messing, Crystals associated with Barsotti-Tate groups: with applications to abelian schemes, LNM 264.
  7. Boutot, Uniformisation $p$-adique des variétés de Shimura
  8. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves
  9. A. Abbes, A. Mokrane, Sous-groupe canonique et cycles évanescents p-adiques pour les variétés abéliennes, Publ Math. IHÉS 99 (2004), 117-162.
  • Application des périodes cristalline
  1. Gross-Hopkins,
  2. Dwork, p-adic cycles
  3. Rapoport-Zink period spaces for p-divisible groups,
  4. L. Fargues, http://www.math.u-psud.fr/~fargues/Squelette.ps
  • Théorie d'Eichler-Brandt-Gross
  1. Eichler, The Basis problem for modular forms and Traces of Hecke operators, Antwerp 1 (LNM 320)
  2. Gross, Heights and the special values of $L$-series.
  3. J. Martinet, Arithmétique des algèbres de Quaternions, cours à l'ÉPFL (2002).
  4. M-F. Vignéras, Arithmétique des algèbres de quaternions, LNM 800.
  • Équidistribution
  1. Duke, Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maass forms
  2. Ullmo, Positivité et discrètion des points algébriques des courbes, Annals of Maths 147 (1998), 167--179.
  3. Szpiro-Ullmo-Zhang, Equidistribution des petits points, Inventiones 127, (1997), 337--347.
  4. Eskin-Oh, Ergodic theoretic proof of equidistribution of Hecke points
  5. Clozel-Oh-Ullmo, Hecke operators and equidistribution of Hecke points. Invent. Math. 144, (2001), p. 327-351
  6. Margulis-Tomanov, Invariant measures for actions of unipotent groups over local fields on homogeneous spaces. Invent.Math., vol.116 (1994)
  7. A. Chambert-Loir, Mesures et équidistribution sur les espaces de Berkovich. J. für die reine und angewandte Mathematik, vol. 595, p. 215-235 (2006).
  8. A. Chambert-Loir, A. Thuillier, Mesure de Mahler et équidistribution logarithmique, Annales de l'Institut Fourier 59 (2009)
  9. R. Richard, Répartition galoisienne d'une classe d'isogénie de courbes elliptiques, AC. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, 347 (2009)
  10. W. Gubler, The Bogomolov conjecture for totally degenerate abelian varieties
  • Quelques séries thêta
  1. Shimura, On modular forms of half-integral weight
  2. Serre, Cours d'arithmétique, Chapitre VII, section § 6.
  3. Duke, Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maass forms
  • Formes modulaires p-adiques
  1. A. Chambert-Loir, Formes modulaires p-adiques,
  2. Coleman, Classical and overconvergent modular forms
  3. Nicholas M. Katz, p-adic properties of modular schemes and modular forms, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Springer, 1973, p. 69–190  MR 447119 |  Zbl 0271.10033.
  4. Gouvea, LNM 1304

 
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